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前言
今天說說二叉樹。
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樹
首先看看什么是樹??。
如圖，這種有節(jié)點的結構就是樹。
樹 是n(n>=0)個結點的有限集
其中：
- 每個元素叫做 節(jié)點
- 上一節(jié)是下一節(jié)的 父節(jié)點，比如1是2的父節(jié)點
- 最上面的節(jié)點，也就是沒有父節(jié)點的節(jié)點叫做 根節(jié)點，比如1
- 同一個父節(jié)點的節(jié)點叫做 兄弟節(jié)點，比如2、3、4是兄弟節(jié)點
- 沒有子節(jié)點的節(jié)點叫做 葉子節(jié)點
二叉樹
聽名字還是比較好理解的，就是每個節(jié)點有兩個分叉的樹。但是又不要求一定有兩個節(jié)點，只要小于等于2個節(jié)點就可以。
比如這種：
其中，可以看到綠色的樹每個節(jié)點都有左右兩個節(jié)點，這種二叉樹就叫做 滿二叉樹。
還有一種二叉樹叫做 完全二叉樹。
完全二叉樹: 對一顆具有n個結點的二叉樹按層編號，如果編號為i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。
啥意思呢，比如一個滿二叉樹，每個節(jié)點進行順序編號，如果去了一些節(jié)點，編號不會變化，那么就是完全二叉樹，比如：
這張圖中，綠色樹是滿二叉樹，當去掉7號節(jié)點，變成了黃色樹。
這顆黃色樹的序號相對于滿二叉樹的序號都能一一對應，所以這個黃色樹就是完全二叉樹。
如果去掉的是6號節(jié)點，變成紅色樹，這時候，紅色樹的節(jié)點就必須有所變化了，6消失后節(jié)點7必須變成節(jié)點6才正確。
所以這個紅色樹就不是完全二叉樹，因為它相對于滿二叉樹序號有所改變，已經對應不上了。
算法——平衡二叉樹
說了這么多，該來個題練練手了。
輸入一棵二叉樹的根節(jié)點，判斷該樹是不是平衡二叉樹。如果某二叉樹中任意節(jié)點的左右子樹的深度相差不超過1，那么它就是一棵平衡二叉樹。
示例 1: 給定二叉樹 [3,9,20,null,null,15,7]
- 3
- / \
- 9 20
- / \
- 15 7
返回 true 。
解析
題目給出了平衡二叉樹的概念，就是任意節(jié)點的左右子樹相差不超過1，就是平衡二叉樹。
那這個深度是啥呢?
深度就是根節(jié)點到當前節(jié)點經過的邊個數
層數就是當前節(jié)點在第幾層，跟節(jié)點為第一層，所以層數=深度+1
- 1 深度 0 ，層數 1
- / \
- 2 3 深度 1 ，層數 2
- / \
- 4 5 深度 2 ，層數 3
解法1
首先容易想到的就是把每個節(jié)點的深度都算出來，然后進行左右節(jié)點比較就能得出是不是平衡二叉樹。
那么節(jié)點的子樹深度怎么計算呢?
遞歸。當子節(jié)點為空就返回，否則每次增加一個單位深度。
- /**
- * Definition for a binary tree node.
- * public class TreeNode {
- * int val;
- * TreeNode left;
- * TreeNode right;
- * TreeNode(int x) { val = x; }
- * }
- */
- private int depth(TreeNode root) {
- if (root == null) return 0;
- return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
- }
深度搞定了，這題就好解了，即遍歷每個節(jié)點的左右深度，還是要 用到遞歸：
- class Solution {
- public boolean isBalanced(TreeNode root) {
- if (root == null) return true;
- return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
- }
- private int depth(TreeNode root) {
- if (root == null) return 0;
- return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
- }
- }
從根節(jié)點開始，計算每個左子樹深度和右子樹深度的差值，以及下面的每個節(jié)點的左子樹和右子樹深度，最終得出結果。
這種先處理節(jié)點，在處理左子樹，再處理右子樹 的遍歷方式叫做 前序遍歷或者先序遍歷。
時間復雜度
假設節(jié)點總數為n，層數為x，二叉樹為滿二叉樹。
時間復雜度計算可以通過 每層的時間復雜度 * 層數復雜度
每層的時間復雜度：
- 第一層需要遍歷n次，第二層需要遍歷n-1次，第三層需要遍歷n-3次，所以每層的時間復雜度為O(n)
層數復雜度：
- 第一層為1個節(jié)點，第二層為2個節(jié)點，第三層為4個節(jié)點，第x層為2的x-1次方。
借助公式：
- n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1
- n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)
計算：
- n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1
- n >= (2^(x-1)-1) + 1
- n >= 2^(x-1)
- x <= log2n+1
同理：
- x >= log2(n+1)
所以一個接近平衡二叉樹的高度(層數)接近logn。
所以總的時間復雜度就是 O(nlogn)
空間復雜度
由于用到了遞歸，用到了堆棧幀，之前說過和最大遞歸深度成正比，所以空間復雜度為O(n)
解法2
還有沒有更好的解呢?
剛才我們用到的是先序遍歷，但是可以發(fā)現，每個節(jié)點都會計算一遍深度，會有大量重復計算，所以我們可以試試不重復的算法?比如直接后序遍歷。
后序遍歷：對于任意節(jié)點來說，先處理左子樹，再處理右子樹，最后再處理節(jié)點本身。
計算深度還是用到剛才的方法：
- private int depth(TreeNode root) {
- if (root == null) return 0;
- int left = recur(root.left);
- int right = recur(root.right);
- return Math.max(left, right) + 1;
- }
如果能計算左子樹深度和右子樹深度，那么我們可以直接進行比較，如果發(fā)現某個節(jié)點的左子樹深度和右子樹深度相差大于1，那么就可以直接返回false了。
所以綜合能得出解法二：
- class Solution {
- public boolean isBalanced(TreeNode root) {
- return recur(root) != -1;
- }
- private int recur(TreeNode root) {
- if (root == null) return 0;
- int left = recur(root.left);
- if(left == -1) return -1;
- int right = recur(root.right);
- if(right == -1) return -1;
- return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1;
- }
- }
時間復雜度
n為總節(jié)點，遍歷所有節(jié)點，所以時間復雜度為O(n)
空間復雜度
- O(n)
參考
https://leetcode-cn.com/problems/ping-heng-er-cha-shu-lcof/
https://time.geekbang.org/column/article/67856
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當前文章：LeetCode題解之二叉樹
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