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Python實(shí)現(xiàn)之一階二階導(dǎo)數(shù)

本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號「python與大數(shù)據(jù)分析」，作者一只小小鳥鳥。轉(zhuǎn)載本文請聯(lián)系python與大數(shù)據(jù)分析公眾號。

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函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

u=u(x),v=v(x)

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(Cu)'=Cu'

(uv)'=u'v+uv'

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

y=f(u)，u=φ(v)

復(fù)合函數(shù)y=f[φ(v)]的導(dǎo)數(shù)為

dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)

(u-v+z)'=u'-v'+z'，且(Cu)'=Cu'

exam1:

y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7

y'=6*x^2-10x+3+0

exam2:

f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)

f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0

f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4

exam3:

y=√x*lnx

y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)

exam4:

y=e^x(sinx+cosx)

y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx

高階導(dǎo)數(shù)

y=f(x)

y'=f'(x)

y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性

通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值，可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性、駐點(diǎn)以及極值點(diǎn)：

若導(dǎo)數(shù)大于0，則單調(diào)遞增;

若導(dǎo)數(shù)小于0，則單調(diào)遞減;

導(dǎo)數(shù)等于零d的點(diǎn)為函數(shù)駐點(diǎn)

曲線的凹凸性，設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)

(1) 在 I 內(nèi) f''(x)>0則 f(x)在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;

(2) 在 I 內(nèi) f''(x)<0則 f(x)在 I 內(nèi)圖形是凸的 .

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. #!/usr/bin/env python 
    2. 
  
  
  
  
  2. # -*- coding: UTF-8 -*- 
    3. 
  
  
  
  
  3. #                     _ooOoo_ 
    4. 
  
  
  
  
  4. #                   o8888888o 
    5. 
  
  
  
  
  5. #                    88" . "88 
    6. 
  
  
  
  
  6. #                 ( | -  _  - | ) 
    7. 
  
  
  
  
  7. #                     O\ = /O 
    8. 
  
  
  
  
  8. #                 ____/`---'\____ 
    9. 
  
  
  
  
  9. #                  .' \\| |// `. 
    10. 
  
  
  
  
  10. #                 / \\|||:|||// \ 
    11. 
  
  
  
  
  11. #               / _|||||-:- |||||- \ 
    12. 
  
  
  
  
  12. #                | | \\\ - /// | | 
    13. 
  
  
  
  
  13. #              | \_| ''\---/'' | _/ | 
    14. 
  
  
  
  
  14. #               \ .-\__ `-` ___/-. / 
    15. 
  
  
  
  
  15. #            ___`. .' /--.--\ `. . __ 
    16. 
  
  
  
  
  16. #         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"". 
    17. 
  
  
  
  
  17. #       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | | 
    18. 
  
  
  
  
  18. #          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / / 
    19. 
  
  
  
  
  19. #      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'== 
    20. 
  
  
  
  
  20. #                     `=---=' 
    21. 
  
  
  
  
  21. ''' 
    22. 
  
  
  
  
  22. @Project ：pythonalgorithms  
    23. 
  
  
  
  
  23. @File ：Nderivatives.py 
    24. 
  
  
  
  
  24. @Author ：不勝人生一場醉@Date ：2021/8/3 1:17  
    25. 
  
  
  
  
  25. ''' 
    26. 
  
  
  
  
  26. import matplotlib.pyplot as plt 
    27. 
  
  
  
  
  27. import numpy as np 
    28. 
  
  
  
  
  28. import math 
    29. 
  
  
  
  
  29. import sympy 
    30. 
  
  
  
  
  30.  
    31. 
  
  
  
  
  31. if __name__ == '__main__': 
    32. 
  
  
  
  
  32.     nderivativeplot() 
    33. 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. # f(x)=x^3+3x^2-24x-20 
    2. 
  
  
  
  
  2. # f'(x)=3x^2+6x-24 
    3. 
  
  
  
  
  3. # f''(x)=6x+6 
    4. 
  
  
  
  
  4. def nderivativeplot(): 
    5. 
  
  
  
  
  5.     plt.figure(figsize=(5, 8)) 
    6. 
  
  
  
  
  6.     ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當(dāng)前軸 
    7. 
  
  
  
  
  7.     plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
    8. 
  
  
  
  
  8.     plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負(fù)號 
    9. 
  
  
  
  
  9.     x = np.linspace(-10,10, 200) 
    10. 
  
  
  
  
  10.     y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20 
    11. 
  
  
  
  
  11.     yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24 
    12. 
  
  
  
  
  12.     ydd=6*x+6 
    13. 
  
  
  
  
  13.     label = '函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲線' 
    14. 
  
  
  
  
  14.     plt.plot(x, y, label=label) 
    15. 
  
  
  
  
  15.     label = "導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2+6x-24的曲線" 
    16. 
  
  
  
  
  16.     plt.plot(x, yd, label=label) 
    17. 
  
  
  
  
  17.     label = "導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x+6的曲線" 
    18. 
  
  
  
  
  18.     plt.plot(x, ydd, label=label) 
    19. 
  
  
  
  
  19.  
    20. 
  
  
  
  
  20.  
    21. 
  
  
  
  
  21.     # 設(shè)置圖片的右邊框和上邊框?yàn)椴伙@示 
    22. 
  
  
  
  
  22.     ax.spines['right'].set_color('none') 
    23. 
  
  
  
  
  23.     ax.spines['top'].set_color('none') 
    24. 
  
  
  
  
  24.  
    25. 
  
  
  
  
  25.     # 挪動(dòng)x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
    26. 
  
  
  
  
  26.     # data表示通過值來設(shè)置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
    27. 
  
  
  
  
  27.     ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
    28. 
  
  
  
  
  28.     # axes表示以百分比的形式設(shè)置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
    29. 
  
  
  
  
  29.     # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
    30. 
  
  
  
  
  30.     ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
    31. 
  
  
  
  
  31.     plt.title("函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)") 
    32. 
  
  
  
  
  32.     plt.legend(loc='upper right') 
    33. 
  
  
  
  
  33.     plt.show() 
    34.


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